Απόδειξε το …!

Ο Άρθουρ Κλαρκ, συγγραφέας επιστημονικής φαντασίας και μελλοντολόγος, έγραψε ότι εάν ένας διαπρεπής καθηγητής δηλώσει ότι κάτι είναι αναμφισβήτητα αληθές, είναι πιθανόν την επόμενη ημέρα αυτό να αποδειχθεί λανθασμένο. Η επιστημονική απόδειξη είναι αναπόφευκτα επισφαλής. Αντίθετα, η μαθηματική απόδειξη είναι απόλυτη και απαλλαγμένη από αμφιβολίες. Ο Πυθαγόρας πέθανε ασφαλής γνωρίζοντας ότι το θεώρημα του, αληθές το 500 π.Χ. θα παρέμενε αληθές αιωνίως.

Η επιστήμη λειτουργεί όπως τα δικαστήρια. Μια θεωρία υποτίθεται ότι είναι αληθής αν υπάρχουν αρκετά στοιχεία που την αποδεικνύουν «πέρα από κάθε λογική αμφιβολία». Από την άλλη, τα μαθηματικά δεν στηρίζονται σε στοιχεία πειραματικών διαδικασιών (που υπόκειται, αναπόφευκτα, σε σφάλματα), αλλά είναι θεμελιωμένα πάνω στην αλάνθαστη λογική. Αυτό δείχνει το παρακάτω πρόβλημα που θα το ονομάσω το πρόβλημα της «ακρωτηριασμένης σκακιέρας». 

Ιδού η διατύπωση: «Από μια σκακιέρα αφαιρούμε πρώτα τις δύο απέναντι γωνίες, ώστε να απομείνουν 62 τετράγωνα. Στην συνέχεια παίρνουμε 31 κομμάτια του ντόμινο διαμορφωμένα έτσι ώστε καθένα να καλύπτει δύο τετράγωνα. Το ερώτημα είναι: είναι δυνατόν να τακτοποιήσουμε με τέτοιον τρόπο τα 31 κομμάτια ώστε να καλύπτονται και τα 62 τετράγωνα της σκακιέρας;» 

Η απάντηση στο πρόβλημα μπορεί να δοθεί με δύο τρόπους.

Η επιστημονική προσέγγιση

   

Ο επιστήμονας προσπαθεί να λύσει το πρόβλημα πειραματικά. Μετά από δεκάδες προσπάθειες αναδιατάξεων, ανακαλύπτει ότι όλες αποτυγχάνουν. Καταλήγει με τον τρόπο αυτό στο συμπέρασμα ότι το επίπεδο δεν μπορεί να καλυφθεί, χωρίς ωστόσο να μπορεί να ναι εντελώς σίγουρος ότι η λύση είναι πράγματι αυτή, αφού πάντοτε, κάποια διάταξη από τις εκατομμύρια διαφορετικές που δεν είναι δυνατόν να δοκιμαστούν, ενδέχεται να ταιριάζει. Κατά συνέπεια, ο επιστήμονας αποδέχεται την πιθανότητα ότι κάποια μέρα η θεωρία του μπορεί να ανατραπεί, αφού είναι βασισμένη σε πειραματικά δεδομένα.

Η μαθηματική προσέγγιση

Ο μαθηματικός προσπαθεί να απαντήσει στο ερώτημα αναπτύσσοντας ένα λογικό επιχείρημα που θα τον οδηγήσει σε ένα συμπέρασμα ορθό και αδιαμφισβήτητο για πάντα. Ένα τέτοιο επιχείρημα είναι το ακόλουθο:

• ·         Οι γωνίες που έχουν αφαιρεθεί από την σκακιέρα είναι και οι δύο άσπρες. Έτσι τώρα υπάρχουν 32 μαύρα τετράγωνα και 30 άσπρα. 
• ·         Κάθε ντόμινο καλύπτει δύο γειτονικά τετράγωνα. Τα γειτονικά τετράγωνα έχουν πάντοτε διαφορετικό χρώμα. 
• ·         Άρα, χωρίς να έχει σημασία ο τρόπος της διάταξης, τα πρώτα 30 κομμάτια ντόμινο που απλώνονται στο επίπεδο καλύπτουν 30 άσπρα τετράγωνα και 30  μαύρα. 
• ·         Συνεπώς, πάντοτε απομένουν ένα κομμάτι ντόμινο και 2 μαύρα τετράγωνα.
•  ·         Όμως, δεν πρέπει να λησμονούμε ότι όλα τα ντόμινο καλύπτουν δύο γειτονικά τετράγωνα που έχουν πάντοτε διαφορετικό χρώμα. Τα δύο τετράγωνα που περισσεύουν έχουν το ίδιο χρώμα. Δεν μπορούν συνεπώς να καλυφθούν και τα δύο από το ένα κομμάτι ντόμινο που απέμεινε. Επομένως η κάλυψη του επιπέδου είναι αδύνατη!

Η απόδειξη δείχνει ότι κάθε δυνατή διάταξη των κομματιών του ντόμινο θα αποτύχει να καλύψει την ακρωτηριασμένη σκακιέρα.

Με παρόμοιο τρόπο ο Πυθαγόρας κατασκεύασε μια απόδειξη που έδειχνε ότι κάθε πιθανό ορθογώνιο τρίγωνο «υπακούει» στο θεώρημα του. Η ανακάλυψη αυτή ήταν τόσο σημαντική ώστε θυσιάστηκαν εκατό βόδια ως πράξη ευγνωμοσύνης προς τους θεούς. Το πυθαγόρειο θεώρημα αποτέλεσε ορόσημο για τα μαθηματικά και μια τις σημαντικότερες ανακαλύψεις στην ιστορία του πολιτισμού.

Η σπουδαιότητα του ήταν διπλή.

Αφενός ανέπτυξε την ιδέα της απόδειξης: ό,τι στα μαθηματικά έχει αποδειχτεί, περιέχει βαθύτερη αλήθεια, αφού αποτελεί ένα λογικό αποτέλεσμα που προκύπτει βήμα προς βήμα. Παρόλο που ο Θαλής είχε επινοήσει κάποιες πρώιμες γεωμετρικές αποδείξεις, ο Πυθαγόρας οδήγησε την ιδέα πολύ πιο μακριά και μπόρεσε να αποδείξει περισσότερο ευφυείς μαθηματικές υποθέσεις.

Η δεύτερη συνέπεια του πυθαγορείου θεωρήματος ήταν η σύνδεση της αφηρημένης μαθηματικής μεθόδου με κάτι πιο απτό. Ο Πυθαγόρας έδειξε ότι η αλήθεια των μαθηματικών μπορεί να βρει εφαρμογή στον επιστημονικό κόσμο, τον οποίο μπορεί να εφοδιάσει με λογική θεμελίωση. Τα μαθηματικά προσδίδουν στην επιστήμη ισχυρό δυναμικό και πάνω στα δικά τους αλάνθαστα θεμέλια οι επιστήμονες προσθέτουν ανακριβείς μετρήσεις και ατελείς παρατηρήσεις.

 

Η λακανική ψυχανάλυση, στηριγμένη στις μαθηματικές αποδείξεις ως πρότυπο, «φιλοδοξεί» να εξελιχθεί σε μια επιστήμη που να έχει χαρακτήρα ισχυρού δυναμικού.