Η Κορδέλα του Μόµπιους

Το μόνο που χρειάζεται κανείς για να κατασκευάσει μια ταινία Μέμπιους είναι μια λωρίδα χαρτί: αρκεί να περιστρέψει το ένα άκρο κατά 180 μοίρες και να το κολλήσει στο άλλο άκρο.

Αυτό που προκύπτει είναι ένας ατέρμονος βρόχος σε σχήμα «8», ο οποίος, παραδόξως, έχει μόνο μία πλευρά. Όποια διαδρομή κι αν ακολουθήσει κανείς κατά μήκος της λωρίδας, τελικά καταλήγει πάντα στο σημείο που ξεκίνησε.

Είναι μια κατασκευή που μπορεί να φτιάξει ακόμα και ένα παιδί, όμως οι μαθηματικοί μέχρι σήμερα σήκωναν ψηλά τα χέρια όσον αφορά τη μαθηματική περιγραφή της θαυμαστής ταινίας.

Δύο μαθηματικοί στο Πανεπιστημιακό Κολέγιο του Λονδίνου, ο Γκερτ βαν ντερ Χάιζντεν και ο Γιουτζίν Σταρόστιν, παρουσιάζουν το πρώτο μαθηματικό μοντέλο της ταινίας, μια εξήγηση του σχήματός της στη μορφή μιας αλγεβρικής εξίσωσης.

Αυτό που καθορίζει το σχήμα της ταινίας, εξηγούν οι ερευνητές στο Nature Μaterials , είναι περιοχές διαφορετικής «ενεργειακής πυκνότητας». Οι περιοχές της λωρίδας που κάμπτονται και διπλώνονται περιέχουν περισσότερη ελαστική ενέργεια από τις επίπεδες περιοχές και τείνουν να επανέλθουν στο αρχικό τους σχήμα, όπως ένα λάστιχο που έχει τεντωθεί.

Το σχήμα της λωρίδας εξαρτάται από το μήκος και το πλάτος του παραλληλόγραμμου από το οποίο κατασκευάστηκε. Αν το πλάτος μεταβάλλεται ανάλογα με το μήκος, οι περιοχές ενεργειακής πυκνότητας μετατοπίζονται και αυτές.

Έτσι, μια φαρδιά λωρίδα θα δώσει μια πιο «επίπεδη» και τριγωνική λωρίδα του Μέμπιους.

Η ταινία του Μέμπιους παίρνει το όνομά της από τον Γερμανό μαθηματικό Αύγουστο Φερδινάνδο Μέμπιους (1790-1868). H πατρότητα της ανακάλυψης ανήκει ωστόσο από κοινού στον Μέμπιους και τον επίσης Γερμανό Γίχαν Μπενεντίκτ Λίστινγκ, ο οποίος περιέγραψε ανεξάρτητα το μυστηριώδες σχήμα την ίδια χρονιά.

Η έρευνα μοιάζει τελείως αφηρημένη, ωστόσο σύμφωνα με το Γαλλικό Πρακτορείο Ειδήσεων θα μπορούσε να έχει και πρακτικές εφαρμογές. Θα μπορούσε να βοηθήσει στην πρόβλεψη των σχισιμάτων στα υφάσματα ή ακόμα και στην μοντελοποίηση μορίων στη φαρμακευτική βιομηχανία.

Η Κορδέλα του Μόµπιους

Η λωρίδα ή κορδέλα Mobius είναι ένα ιδιότυπο µαθηµατικό αντικείµενο µε καταπληκτικές και θαυµαστές ιδιότητες και ονοµάστηκε από τον αστρονόµο και το µαθηµατικό Αύγουστο Φερδινάνδο Μόµπιους ( August Ferdinand Möbius 1790-1868) που ανεκάλυψε «την λωρίδα του» τον Σεπτεµβρίο του 1858. Ανεξάρτητα, ο γερµανικός µαθηµατικός Γιόχαν Βενέδικτος Λίστινγκ (Johann Benedict Listing1808-1882) επινόησε το ίδιο αντικείµενο τον Ιουλίο του 1858. Ίσως πρέπει να ονοµάζετο «λωρίδα του Λίστινγκ αντί λουρίδα Μόµπιους. Το τι είναι, φαίνεται στην εικόνα .Βλέπουµε µια λωρίδα που έχουν ενωθεί οι άκρες της, αλλά πριν ενωθεί έχουµε στρίψει το ένα άκρο κατά 180 μοίρες.

  Αυτό το µαθηµατικό αντικείµενο είναι που έχει τις παράξενες και λίαν ενδιαφέρουσες τοπολογικές ιδιότητες που θα περιγράψουµε παρακάτω:

1. Αυτό το αντικείµενο έχει µία µόνο πλευρά

. Αν πάρω το δάκτυλό µου και επιχειρήσω να την περιδιαβάσω, θα επανέλθω στο σηµείο από το οποίο άρχισα. Αν βάλουµε ένα μερμήγκι να περπατά πάνω της ,αυτό θα περιπλανείται στο διηνεκές επανερχόμενο στο ίδιο σηµείο. Αν προσπαθήσω να το βάψω θα δω ότι λόγω του ότι έχει µία µόνο πλευρά μπορώ να χρησιμοποιήσω ένα το πολύ χρώµα.

Έχει µία µόνο άκρη (πέρας της επιφάνειας) Αν ξεκινήσω από ένα σηµείο του πέρατος της επιφάνειας, και ακολουθήσω το πέρας θα επανέλθω στο ίδιο σηµείο.

Εν ολίγοις, έχω ένα μαθηματικό αντικείμενο µε µία µόνο πλευρά, την στιγµή που κάθε επίπεδο κλασσικό γεωμετρικό σχήµα ( κυρτό ή µη κυρτό) έχει δύο πλευρές!

2. Αν το κόψω την κορδέλα κατά μήκος, ενώ κάθε άνθρωπος αναµένει να πάρει δύο ίδιες κορδέλες Μόµπιους, θα πάρει µία ….μεγαλύτερη!

3. Αν συνεχιστεί το κόψιµο της προηγούμενης πάλι κατά μήκος, έχοντας δει το προηγούμενο αποτέλεσµα αναµένουµε να πάρουµε µια ακόµα πιο μεγάλη, όµως παίρνουµε δύο λωρίδες την µία μέσα στην άλλη όπως οι κρίκοι αλυσίδας!

Η σχέση της λωρίδας Möbius με τη μουσική

 Αν ταξιδεύατε μέσα σε ένα σύμπαν Möbius (Μέμπιους), θα επιστρέφατε στο σημείο στο οποίο ξεκινήσατε με τη δεξιά και αριστερά πλευρά σας αντεστραμμένες. Αν κάνατε έναν ακόμα γύρο της λωρίδας, όταν επιστρέφατε στο σημείο εκκίνησης τα όργανά σας θα είχαν πάρει πάλι τον αρχικό προσανατολισμό τους. Με τον ίδιο τρόπο, μπορούμε να δημιουργήσουμε μουσική Μέμπιους. Η μουσική παίζεται κανονικά την πρώτη φορά. Όταν ο μουσικός φτάσει στο σημείο απ’ όπου ξεκίνησε, παίζει πάλι τη μουσική, αλλά με κάποιες παραλλαγές. Για παράδειγμα, τη δεύτερη φορά η παρτιτούρα μπορεί να είναι κατοπτρική της πρώτης, ή να παίζεται ανάποδα.

Ο Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπαχ έγραψε «μουσική Μέμπιους» – για παράδειγμα, ο Καρκινικός Κανόνας – στην οποία ο μουσικός μπορεί να παίξει ένα κομμάτι και μετά να αναποδογυρίσει την παρτιτούρα και να παίξει το ίδιο κομμάτι.

Ο Αυστρο – ούγγρος μουσικοσυνθέτης Άρνολντ Σένμπεργκ, αρκετούς αιώνες αργότερα, πειραματίστηκε με καρκινικούς κανόνες, τους οποίους ονόμασε «κατοπτρικούς κανόνες».

Ο Ρωσο – αμερικανός συνθέτης και γλωσσολόγος Νίκολας Σλονίμσκι,  εμπνεύστηκε άμεσα από τη λωρίδα του Μέμπιους. Το έργο «Möbius Striptease» εκτελέστηκε για πρώτη φορά από δυο τραγουδιστές και έναν πιανίστα το 1965 στο Λος Άντζελες.

Η «διεστραμμένη» ταινία.

 

Είπε το μυρμήγκι: «Ολοένα γυρνάμε από εδώ και από εκεί / και το μόνο που έχουμε βρει / είναι πως η άλλη πλευρά δεν είναι εκεί». Ο Αύγουστος Φερδινάνδος Μέμπιους γεννήθηκε το 1790 στη Γερμανία και πέθανε το 1868. Εμεινε σε μικρή ηλικία ορφανός από πατέρα και ύστερα από οικογενειακές πιέσεις άρχισε να σπουδάζει νομικά αλλά σύντομα, στη μέση του πρώτου έτους κιόλας, άλλαξε πεδίο σπουδών και ξεκίνησε στα Μαθηματικά….

Οταν τελείωσε, συνέχισε πανεπιστημιακή καριέρα στα Μαθηματικά αλλά και στην Αστρονομία. Το 1858 παρουσίασε τη «Λωρίδα Μέμπιους» με την παράδοξη παρατήρηση ότι πρόκειται για μια επιφάνεια με μία μόνο πλευρά. Εννοώντας ότι αν το ένα άκρο μιας ταινίας το γυρίσουμε κατά 180 μοίρες και το κολλήσουμε στο άλλο άκρο προκύπτει μια ταινία, η οποία φέρει το όνομά του, Μέμπιους. Για να καταλάβουμε την ιδιορρυθμία της, ο συγγραφέας Κλίφορντ Πικόβερ έχει στο βιβλίο του μια εικόνα όπου δύο καλλιτέχνες προσπαθώντας να βάψουν τη μία όψη της ταινίας κόκκινη και την άλλη πράσινη συναντούν δυσκολία.

Ξεκινώντας με το πινέλο στη μια όψη και διατρέχοντας την ταινία θα βρεθεί να έχουν βάψει με ένα μόνο χρώμα και τις δύο όψεις χωρίς να έχουν καταλάβει πότε βρέθηκαν και έβαψαν και την άλλη πλευρά. Ετσι λέμε ότι αν και ταινία έχει μία μόνον όψη. Αυτά βέβαια είναι αρκετά γνωστά. Ετσι για τον κάπως πιο προχωρημένο αναγνώστη το πραγματικό ενδιαφέρον αρχίζει από τη σελίδα 197. Και επί εκατό σελίδες πραγματικά ανοίγει το μυαλό του αναγνώστη, αφού ο συγγραφέας αναφέρεται εκεί στα παράλληλα Σύμπαντα, στη συμμετρία, σε χώρους με διαστάσεις περισσότερες από τρεις, στο σχήμα του Σύμπαντος, στις παραδοξότητες μιας φιάλης Klein. Επιπλέον υπάρχει κεφάλαιο που ασχολείται με τη λωρίδα Μέμπιους στη λογοτεχνία και στον κινηματογράφο, ενώ δίδονται και κάποιες ασκήσεις στα κεφάλαια, όπου ο αναγνώστης στο τέλος του βιβλίου μπορεί να βρει τις λύσεις τους.

Ο Κλίφορντ Πικόβερ έχει σπουδάσει Βιοχημεία και σήμερα είναι μέλος ερευνητικής ομάδας στα φημισμένα εργαστήρια Tomas Watson. Εχει στο όνομά του κατατεθειμένες διάφορες ευρεσιτεχνίες και γράφει σχεδόν ένα βιβλίο εκλαϊκευμένης επιστήμης τον χρόνο….

Είπε η μητέρα στον τρίχρονο  γιο :

«Δεν μπορείς να διασχίσεις του Μέμπιους την οδό».

Όμως ,αυτός, βολτάρει με τρόπο μοναδικό

και κάνει το ακατόρθωτο εφικτό.»

Chuck Gaydos ( από τον διαγωνισμό στιχουργημάτων Μέμπιους