Μέσα στην αναλυτική διαδικασία, ο αναλυτής ακούει. Ο αναλυόμενος μιλάει και ο αναλυτής παρεμβαίνει ερμηνεύοντας τα ακούσματα. Μιλά σαν να είναι το υποκείμενο που γνωρίζει. Πρόκειται για μια γνώση, πράγματι, η οποία όμως, συχνά, δεν αποτελεί αποτέλεσμα λογικών συλλογισμών. Ούτε καν πρόκειται για μια γνώση η οποία προϋπάρχει του ακούσματος. Καθόλου δεν αποτελεί, επίσης, αποτέλεσμα των αισθήσεων. Είναι μια γνώση ενορατική, διαισθητική.
Ξέρετε, οι περισσότεροι από εμάς, εάν όχι όλοι μας, έχουμε πιστέψει στο παρελθόν ότι γνωρίζουμε κάτι, χωρίς αυτό να βασίζεται στη λογική αλλά σε μια ιδιαίτερη αίσθηση ότι αυτό που πιστεύουμε ισχύει πραγματικά. Όταν η αίσθηση ότι γνωρίζουμε κάτι χαρακτηρίζεται περισσότερο ενστικτώδης και δεν βασίζεται σε λογική επεξεργασία, τότε μπορούμε να χαρακτηρίσουμε την αίσθηση αυτή ως «διαίσθηση», ως «ενόραση».
Ενόραση είναι η υποτιθέμενη ψυχική ικανότητα του να βλέπει κανείς πράγματα πέρα από την δύναμη της κανονικής όρασης. Πρόκειται για την γνώση κάποιων πραγμάτων που γίνεται με τρόπους πέρα από τις αισθήσεις ή τη λογική, με απροσδιόριστο τρόπο.
Φιλοσοφικά, η Ενόραση είναι ένας τρόπος γνώσης άμεσος, χωρίς την παρέμβαση του λογικού. Πρόκειται για γνώση άμεση, ζωντανή, προσωπική, βιωματική. Μια γνώση που αντιπαρατίθεται στη διάμεση γνώση, αυτήν που αποκτάται μέσω μιας συλλογιστικής διαδικασίας. Την στιγμή της ενόρασης, το πνεύμα φωτίζεται μυστηριωδώς και συλλαμβάνει μια αλήθεια που η διάμεση διαδικασία αδυνατούσε να την αποκαλύψει.
Πιστεύω ότι ο καλύτερος τρόπος για να σας παρουσιάσω την «ενόραση» είναι να δανειστώ τον τρόπο που, ιστορικά, τα μαθηματικά την χρησιμοποίησαν και την χρησιμοποιούν. Η λέξη, όπως χρησιμοποιείται από τους μαθηματικούς, κουβαλά ένα βαρύ φορτίο μυστηρίου και δισημίας. Μερικές φορές φαίνεται να είναι ένα επικίνδυνο και όχι νόμιμο υποκατάστατο της «αυστηρής απόδειξης». Σε άλλες περιπτώσεις φαίνεται να δηλώνει μια ανεξήγητη αναλαμπή διόρασης με την οποία λίγοι τυχεροί αποκτούν την μαθηματική γνώση που άλλοι αποκτούν μόνο με μακροχρόνιες προσπάθειες.
Ως πρώτο βήμα στην παρουσίαση αυτής της ρευστής έννοιας είναι χρήσιμο να παρουσιάσω τις ιδιότητες που την χαρακτηρίζουν ιστορικά:
1η ιδιότητα: Το ενορατικό είναι το αντίθετο του αυστηρού. Αυτή η χρήση δεν είναι απόλυτα ξεκαθαρισμένη από μόνη της, γιατί η ίδια η έννοια του «αυστηρού» δεν δίνεται ποτέ με ακρίβεια. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι σε αυτήν την χρήση το ενορατικό σημαίνει έλλειψη αυστηρότητας, και όμως η έννοια της αυστηρότητας ορίζεται μάλλον ενορατικά παρά αυστηρά!
2η ιδιότητα: Ενορατικό σημαίνει εύλογο ή πειστικό όταν λείπει η απόδειξη. Μια σχετική έννοια είναι «αυτό που θα περιμέναμε να είναι αληθές σε μια τέτοια κατάσταση, στη βάση της γενικής εμπειρίας για παρόμοιες καταστάσεις ή σχετικά θέματα». «Ενορατικά εύλογο» σημαίνει λογικό σαν υπόθεση, δηλαδή, υποψήφιο για απόδειξη.
3η ιδιότητα: Ενορατικό σημαίνει ατελές. Πρόκειται για κάτι που συνεχώς προσεγγίζεται χωρίς ποτέ να τελειώνει αυτή η προσέγγιση.
4η ιδιότητα: Ενορατικό σημαίνει να στηρίζεσαι σε ένα φυσικό μοντέλο ή σε κάποια κύρια παραδείγματα.
5η ιδιότητα: Ενορατικό σημαίνει ολιστικό ή αυτό που ολοκληρώνει, σε αντίθεση με το λεπτομερειακό ή αναλυτικό.
Προχωρώντας σε ένα δεύτερο βήμα στην αποσαφήνιση της ενόρασης θα δείξω με βάση την αντίθεση Άπειρο – Απειροστό το ρόλο της έννοιας στη ιστορία των μαθηματικών.
Έγραψα κάποια στιγμή σε μια παλιότερη ανάρτηση μου: «Από την θηλυκή πλευρά, το ον που μιλάει, επιβάλλει στον παρτενέρ μια διαφορετική μορφή απόλαυσης πέραν της φαλλικής. Μια μορφή η οποία βρίσκεται σε συνάρτηση με το απεριόριστο της απόλαυσης. Πρόκειται για τον κεντρικό ρόλο που παίζει η αγάπη στην γυναικεία σεξουαλικότητα. Το αίτημα για αγάπη, από την άποψη του θηλυκού, εκτείνεται πολύ μακρύτερα από ότι συμβαίνει στο αρσενικό. Το εν λόγω αίτημα, στην περίπτωση της γυναικείας σεξουαλικότητας, εκτείνεται προς το Άπειρο και υπερβαίνει οποιαδήποτε απόδειξη της αγάπης. Το Όλον του θηλυκού, λοιπόν, δεν είναι μορφοποιημένο, είναι ατελές και ανοίγεται προς το Άπειρον. Για αυτό ο περιορισμός της γυναικείας σεξουαλικότητας σε έναν και μόνο άνδρα δεν είναι τίποτε άλλο παρά ένας συμβιβασμός. Είναι το ελάχιστον του αιτήματος της. Είναι το Απειροστό της!».
Σε αυτήν την παράγραφο χρησιμοποίησα δύο κατεξοχήν μαθηματικές έννοιες οι οποίες συνιστούν, μάλιστα, και μια θεμελιώδη αντίθεση: το Άπειρο και το Απειροστό.
Και οι δύο έννοιες προσεγγίζονται από τους μαθηματικούς ενορατικά. Ο πιο φημισμένος μαθηματικός μυστικιστής ήταν αναμφίβολα ο Blaise Pascal. Απαντώντας σε εκείνους από τους συγχρόνους του που είχαν αντιρρήσεις για τους συλλογισμούς του με τις άπειρα μικρές ποσότητες, του άρεσε να λέει ότι «η ψυχή παρεμβαίνει για να διευκρινίσει το έργο». Ο Pascal έβλεπε το άπειρα μεγάλο και το άπειρα μικρό ως μυστήρια, ως κάτι που η φύση είχε προορίσει για τον άνθρωπο, όχι για να τα κατανοεί, αλλά για να τα θαυμάζει!
Το πρώτο εγχειρίδιο απειροστικού λογισμού γράφτηκε το 1696 από τον μαρκήσιο de L’ Hospital, έναν μαθητή του Leibniz και του Johann Bernoulli. Σε αυτό δηλώνεται στην αρχή ως αξίωμα «δύο ποσότητες που διαφέρουν κατά ένα απειροστό μπορούν να θεωρηθούν ίσες». Με άλλα λόγια, την ίδια στιγμή θεωρείται ότι οι ποσότητες είναι ίσες μεταξύ τους και ότι δεν είναι ίσες!
Ο Leibniz από την μεριά του, δεν ισχυρίζονταν ότι τα απειροστά υπάρχουν πραγματικά, αλλά μόνο ότι κάποιος θα μπορούσε να βγάλει συμπεράσματα χωρίς λάθος, σαν να υπήρχαν. Ισχυρίζονταν δηλαδή ότι η Ενόραση δεν είναι μια άμεση αντίληψη κάποιου πράγματος που υπάρχει εξωτερικά και αιώνια. Είναι η επίδραση στο νου κάποιων εμπειριών από δραστηριότητες και χειρισμούς συγκεκριμένων αντικειμένων (που σε ένα μετέπειτα στάδιο είναι σημάδια στο χαρτί ή και νοητικές εικόνες).
Έτσι, στα 1704, η δυναμική προσέφερε ερωτήματα στην μαθηματική ανάλυση. Πρέπει να γνωρίζουμε ότι πρόκειται για μια εποχή – ο 18ος αιώνας, η μεγάλη εποχή των απειροστών – που δεν αναγνωρίζονταν φραγμοί ανάμεσα στους φυσικούς και στους μαθηματικούς. Οι πρωτοπόροι της φυσικής και των μαθηματικών ήταν τα ίδια άτομα. Στην εποχή αυτή λοιπόν, το κύριο πρόβλημα ήταν η σχέση ανάμεσα στο «ρέον» (“fluent”) και στην «ροή» (“fluxion”), που σήμερα θα μπορούσαν να ονομαστούν «στιγμιαία θέση» και «στιγμιαία ταχύτητα» κινούμενου σώματος[1].
Εξετάζουμε την περίπτωση της πέτρας που πέφτει. Η κίνηση της περιγράφεται αν δώσουμε την θέση της ως συνάρτηση του χρόνου. Καθώς η πέτρα πέφτει η ταχύτητα της αυξάνει, έτσι ώστε η ταχύτητα σε κάθε στιγμή είναι επίσης μια μεταβλητή συνάρτηση του χρόνου. Ο Newton ονόμασε την συνάρτηση της θέσης «ρέον» και της ταχύτητας «ροή». Αν δοθεί το ένα από τα δύο, το άλλο μπορεί να καθοριστεί. Αυτή η σχέση αποτελεί την καρδιά του Απειροστικού Λογισμού που δημιούργησαν ο Newton και ο Leibniz.
Στην περίπτωση της πέτρας που πέφτει το ρέον δίνεται από τον τύπο s = 1/2gt2, όπου s είναι η διανυόμενη απόσταση και t ο αριθμός των δευτερολέπτων που περνούν από την στιγμή που απελευθερώνεται η πέτρα. Καθώς η τελευταία πέφτει η ταχύτητα της αυξάνει σταθερά. Πως θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα της σε κάποια στιγμή του χρόνου, ας πούμε στο σημείο Γ του σχήματος; Ας το επιχειρήσουμε. Ιδού η προσπάθεια μας:
Βλέπετε εκείνο το dt είναι που δεν μας αφήνει να θεωρήσουμε το dv ως πεπερασμένη ποσότητα. Πρόκειται για ένα άπειρα μικρό μέγεθος, για ένα απειροστό. Ο Newton έγραψε πάνω σε αυτό το θέμα: «Με την τελική ταχύτητα νοείται εκείνη με την οποία κινείται το σώμα, ούτε πριν φτάσει στην τελευταία του θέση, όταν σταματά η κίνηση, ούτε μετά, αλλά ακριβώς την στιγμή που φτάνει. Και με τον ίδιο τρόπο, με τον τελικό λόγο των ανεπαίσθητων ποσοτήτων πρέπει να νοηθεί ο λόγος των ποσοτήτων, όχι πριν μηδενιστούν, ούτε μετά, αλλά ακριβώς την στιγμή που μηδενίζονται!». Όλα αυτά για να δικαιολογήσει την απάλειψη από μέρους του, του ανεπιθύμητου απειροστού dt, θέτοντας dt = 0 και φτάνοντας, κατά αυτόν τον τρόπο, στον υπολογισμό της «ροής» ως πεπερασμένης ποσότητας η οποία είναι dv = gt.
Αυτό ακριβώς δεν θα μας αφήσει να κάνουμε ούτε εμείς αλλά ούτε ο Newton ο επίσκοπος Berkeley. Ο επίσκοπος, στα 1734 εξέδωσε ένα βιβλίο “The Analyst; or, A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician”. Προσέξτε εκείνο το «Infidel» που σημαίνει «Άπιστος». Υπάρχει η γνώμη ότι αυτός ο «άπιστος» ήταν ο φίλος και χρηματοδότης του Newton αστρονόμος Edmund Halley. Ο τελευταίος βοήθησε στην έκδοση του Principia. Επίσης έπεισε έναν φίλο του επίσκοπου – τον καλύτερο του φίλο – για την «μη πειστικότητα του δόγματος του Χριστιανισμού». Καταλαβαίνετε λοιπόν, ότι ο Επίσκοπος του «την είχε φυλαγμένη», «τον περίμενε στην γωνία». Γράφει λοιπόν στο “The Analyst”:
“…atheist mathematicians, who are so particular about points of religion, are more lax about their own field, submitting to authority, taking things on trust, and believing things that cannot be seen and mysteries that cannot be conceived. They have obstructions in their own eyes that they should look to cast out”.
«…ότι οι άθεοι μαθηματικοί, που είναι τόσο απαιτητικοί για τα θρησκευτικά θέματα, είναι πολύ πιο χαλαροί για θέματα του δικού τους πεδίου, υποταγμένοι στην εξουσία, εμπιστεύονται, και πιστεύουν πράγματα που δεν μπορούν να δουν και μυστήρια που δεν μπορούν να συλλάβουν. Έχουν εμπόδια στα μάτια τους που θα έπρεπε να κοιτάξουν να αποβάλλουν».
Και συνεχίζει…
“…There are too many that deride Mysteries, and yet admire Fluxions; who yield that Faith to a mere Mortal, which they deny to Jesus Christ, whose Religion they make it their Study and Business to discredit…. I endeavour to shew, that such Men are defective in Point of Reason and Judgment, and that they do the very Thing they would seem to despise”.
«…Υπάρχουν πάρα πολλοί που χλευάζουν τα Μυστήρια, αλλά θαυμάζουν τις Fluxions (Ροές), που χορηγούν αυτή την Πίστη σε έναν απλό Θνητό, την οποία αρνούνται στον Ιησού Χριστό, του οποίου την Θρησκεία, μέσω της Μελέτης και της Επιχείρησής τους, δυσφημούν…. Προσπαθώ να δείξω, ότι αυτοί οι άντρες είναι ελαττωματικοί στον Λόγο και την Κρίση τους, και ότι πράττουν το ίδιο πράγμα που φαίνεται να περιφρονούν».
Και κλείνει…
«…θα επικαλεστώ το δικαίωμα του ελεύθερου διανοητή και θα πάρω το ελεύθερο να ερευνήσω το αντικείμενο, τις αρχές του, και τις μεθόδους απόδειξης που δέχονται οι μαθηματικοί του σήμερα με την ίδια άνεση που τολμάς να μεταχειρίζεσαι τις αρχές και τα μυστήρια της θρησκείας. Φαίνεται ότι αυτός ο συλλογισμός δεν είναι ούτε τίμιος ούτε αναμφισβήτητος. Τελικά το dt ή είναι ίσο με μηδέν ή δεν είναι. Αν το dt δεν είναι μηδέν τότε το dv δεν είναι πεπερασμένο, άρα δεν έχεις υπολογίσει τίποτε! Αν, από την άλλη, το dt είναι μηδέν, τότε η αύξηση σε απόσταση ds είναι επίσης μηδέν και το κλάσμα ds/dt είναι μια χωρίς νόημα έκφραση 0/0! Γιατί όταν λέγεται: έστω ότι οι αυξήσεις μηδενίζονται, δηλαδή έστω ότι οι αυξήσεις δεν είναι τίποτε, ή έστω δεν υπάρχουν αυξήσεις, η προηγούμενη υπόθεση ότι αυξήσεις υπήρχαν αναιρείται και διατηρείται επιπλέον μια συνέπεια αυτής της υπόθεσης, δηλαδή μια έκφραση στην οποία φτάσαμε εξαιτίας της. Τελικά τι είναι αυτές οι ροές, αυτές οι ανεπαίσθητες αυξήσεις; Δεν είναι ούτε πεπερασμένες ποσότητες ούτε ποσότητες άπειρα μικρές, αλλά ούτε και τίποτα. Τότε γιατί να μην τις ονομάσουμε φαντάσματα των ποσοτήτων που αναχώρησαν;».
Η λογική του Επίσκοπου δεν μπορούσε να απαντηθεί.
Παρόλα αυτά οι μαθηματικοί συνέχισαν να χρησιμοποιούν τα απειροστά για άλλον ένα αιώνα, και με μεγάλη επιτυχία. Το όλο πρόβλημα βρήκε την λύση του και την θέση του στην ιστορία κάτω από την ηγεσία του Weierstrass το 1872. Ο ορισμός του ορίου – ο ορισμός «έψιλον-δέλτα», όπως έγινε γνωστός στην ιστορία – χρησίμευσε στον Γερμανό μαθηματικό για να ορίσει την ταχύτητα ως ένα όριο που προσεγγίζεται με λόγους πεπερασμένων αυξήσεων. Ο ορισμός «έψιλον-δέλτα» είναι ενορατικός για κάθε εκπαιδευμένο μαθηματικό. Αυτό δείχνει τι μπορεί να επιτευχθεί με κατάλληλη εκπαίδευση.
Στην πραγματικότητα, η ενόραση είναι μια συνηθισμένη διεργασία του ανθρώπινου εγκεφάλου, της οποίας όμως η επιρροή μπορεί να διατηρηθεί υπό έλεγχο από την αναλυτική σκέψη, η οποία συνήθως ακολουθεί δεύτερη. Για παράδειγμα, όταν περπατάμε στον δρόμο αργά το βράδυ και ακούσουμε έναν απότομο θόρυβο, η διαίσθησή μας ίσως είναι ότι κάποιος μας ακολουθεί, αλλά έπειτα από περαιτέρω εξέταση της κατάστασης κατανοούμε ότι ο θόρυβος αυτός προκλήθηκε από κάτι που δεν αποτελεί κίνδυνο, όπως π.χ. μια γάτα που ψάχνει για φαγητό σε έναν σκουπιδοτενεκέ.
Περίπλοκες καταστάσεις, οι οποίες απαιτούν μεγαλύτερη συγκέντρωση στην αναλυτική σκέψη για να επιλυθούν, μπορούν να μας οδηγήσουν στο να «κάνουμε ένα βήμα πίσω» και να εξετάσουμε την αρχική ενόραση που βιώσαμε, και δυνητικά να απορρίψουμε τη διαίσθησή μας, εφόσον η αναλυτική μας σκέψη έρχεται σε αντίθεση με αυτή.
Παρόλα αυτά, η ενόραση μπορεί και να οδηγήσει σε κάποιο επιθυμητό αποτέλεσμα, οπότε η προσοχή σε αυτή δεν αποθαρρύνεται εξ ολοκλήρου, ακόμα και σε καταστάσεις οι οποίες φέρουν ρίσκο. Για παράδειγμα, έχουν αναφερθεί περιστατικά από τον χώρο της υγείας κατά τα οποία ιατροί ή νοσηλεύτριες κατάφεραν να αποφύγουν την μοιραία έκβαση ενός ιατρικού προβλήματος χάρη στη ενόραση τους – ενώ η κατάσταση ενός ασθενή έμοιαζε να βαίνει καλώς, η ενόραση των ειδικών οδήγησε σε πιο εντατική παρακολούθηση της κατάστασης, η οποία αποδείχθηκε σωτήρια.
[1] Οι όροι «ρέον» (“fluent”) και «ροή» (“fluxion”) είναι δύσχρηστοι σήμερα. Τους λατινικούς όρους τους εισήγαγε ο Newton στο έργο του Quadratura Curvarum (Τετραγωνισμός Καμπυλών) το οποίο δημοσιεύτηκε ως παράρτημα στην Οπτική του, κάπου 40 χρόνια μετά την ανακάλυψη τους. Την ελληνική τους απόδοση «ροή» και «ρέον» την συναντούμε πρώτη φορά, το 1779, στον 3ο τόμο των Στοιχείων Μαθηματικών του Νικηφόρου Θεοτόκη. Ο Θεοτόκης δίνει τα εξής συνώνυμα: για την «ροή» «διαφορικόν» «απειροστημόριον» και «απειροστόν» και για το «ρέον» «ολόκληρον» (που αντιστοιχεί στο σημερινό «ολοκλήρωμα»).
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου